Analisi Matematica

Descrizione

In questo modulo affronteremo un viaggio che ci accompagnerà passo passo nel mondo dell’analisi matematica e, soprattutto, delle funzioni matematiche. Incominceremo capendo che cosa è una funzione da un punto di vista più generico possibile, per poi estendere il nostro ragionamento su funzioni di numeri reali, fondamentali per moltissime applicazione pratiche della Data Science e del Machine Learning. Partendo così dalle funzioni in una variabile reale, ne capiremo bene il significato da un punto di vista formale e grafico, attraverso l’utilizzo di un software open source chiamato GeoGebra, che impareremo ad utilizzare passo passo durante il corso di questo modulo, costruendo insieme tutto quello che vedremo. Approfondiremo poi le funzioni lineari a una variabile, capendo bene sia da un punto di vista matematico che grafico, che cosa sono, cosa rappresentano e come i singoli componenti di cui è composta ne influenzano il comportamento sperimentando proprio attraverso GeoGebra, per poi capire cosa sono le funzioni non lineari e come si differenziano da quelle lineari. Passeremo poi a capire cosa sono le funzioni composte e cosa, invece, le combinazioni di funzioni, arrivando così a studiare alcune delle principali funzioni di attivazione, ampiamente utilizzate nel contesto del Machine Learning e della Data Science. A questo punto avremmo tutto il necessario per avventurarci nello studio dei limiti, del rapporto incrementale e mettendo assieme i pezzi del puzzle studieremo con quanta più cura possibile il limite del rapporto incrementale che ci introdurrà così ad uno dei componenti chiave dell’analisi matematica, soprattutto quando abbiamo a che fare con il Machine Learning: la derivata. Studieremo così la derivata, studiandola da diverse angolazioni: sia tramite la sua definizione formale ricavandocela proprio dal limite del rapporto incrementale tramite le formule e con l’utilizzo di GeoGebra, sia da un punto di vista geometrico, sia infine capendo bene attraverso lo studio visivo delle funzioni, la relazione che sussiste tra la derivata e la funzione di partenza. Questo ci porterà a capire cosa sono i punti stazionari e come sono collegati al concetto di derivata. Passeremo poi a studiare le funzioni a 2 variabili, capendo come si differenziano con le funzioni a una variabile e vedendo come tutto quello che abbiamo visto a una variabile si estende, con gli opportuni aggiustamenti, anche a due variabili. Questo ci porterà quindi a studiare la derivata a due variabili e, di conseguenza, a parlare di gradiente, oggetto matematico al cuore di una delle più importanti applicazioni del Machine Learning. Infine, capiremo come tutto quello che abbiamo studiato fino ad ora si estende e si generalizza non solo a funzioni a due variabili, ma in generale anche a funzioni a N variabili e capiremo l’importanza di imparare a generalizzare.